La estimación de un parámetro se puede expresar de dos formas:
Propiedades de muestras grandes:
Considerar muestras mayores de 30, para poder asumir una distribución normal. Usualmente se trabaja con la media y la desviación típica de la distribución muestral (\(\bar{X}\) , S).
| Nivel de Confianza | 99.73% | 99% | 98% | 96% | 95.45% | 95% | 90% | 80% | 68.27% |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Coeficiente de Confianza(Z) | 3 | 2.58 | 2.33 | 2.05 | 2 | 1.96 | 1.645 | 1.28 | 1 |
Para Poblaciones Infinitas:
\[\bar{X} \pm Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]
Para Poblaciones Finitas:
\[\bar{X} \pm Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}\]
Ejemplo:
Sabemos que la longitud Glabello-occipital (GOL) del data-set craneométrico de Howells, representa una muestra de toda la población de todos los craneos humamos (de 28 poblaciones). Sabiendo esto, queremos conocer los intervalos de confianza para estimar la media para un nivel del 95%, conociendo la media y desviación estandar de la muestra.
\(\large \bar{X} = \frac{452231}{2524}=179.172 \enspace\) \(\enspace \large S = \sqrt{\frac{183834}{2524-1}}=8.536\)
\(\large n = 2524 \enspace\) \(\enspace \large Z = 1.96\)
Como no tenemos el tamaño de la población, usaremos la estimación para Poblaciones Infinitas
\(\large 179.172 \pm 1.96 \frac{8.536}{\sqrt{2524}}\rightarrow 179.172\pm0.333\)
Para muestras menores de 30… Usaremos los Coeficientes de Confianza de la distribución t-student con n-1 grados de libertad.
La formula que usaremos es muy parecida, con un pequeño ajuste:
\(\large \bar{X} \pm t_{\alpha/2}\frac{S}{\sqrt{n}} \enspace\) Los coeficientes t-Student los pueden ver aquí
Para este ejemplo seguiremos usando la longitud Glabello-occipital (GOL), pero de una población pequeña como “S MAORI” que tiene solo 10 observaciones.
\(\bar{X} = \frac{1871}{10}=187.1 \enspace\) \(\enspace S = \sqrt{\frac{262.9}{10-1}}=5.405 \enspace\) \(n = 10 \enspace\)
\(t_{95\%}\) dos colas 9 g.l = 2.262
Entonces:
\(\large 187.1 \pm 2.262 \frac{5.405}{\sqrt{10}}\rightarrow 187.1\pm3.866\)
Un estimador puntual de la proporción P en un experimento binomial está dado por la estadística P=X/N, donde x representa el número de éxitos en n pruebas. Por tanto, la proporción de la muestra \(\hat{p}=x/n\) se utilizará como estimador puntual del parámetro P.
Plantear la estimación de una proporción poblacional tiene sentido cuando la variable estudiada mide en un invividuo la presencia de un atributo (éxito) o su ausencia (fracaso). Ejemplos:
Supongamos que queremos estimar la proporción de craneos de sexo femenino para toda la población a partir la muestra de Howells. Por tanto, sabemos que en la muestra la proporción de craneos de sexo femenino es:
\(\hat{p} = \frac{1156}{2524}=0.458 \enspace\) Nos piden encontrar los intervalos de confianza para la proporción poblacional al 95%
Para esto, usaremos el intervalo de Wald
Para Poblaciones Infinitas:
\[\hat{p} \pm Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\]
Para Poblaciones Finitas:
\[\hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}\]
Como no tenemos el tamaño de la población, usaremos la estimación para Poblaciones Infinitas
\[\large 0.458 \pm 1.96\sqrt{\frac{0.458*0.54199}{2524}} \rightarrow 0.458 \pm 0.01944\]
Cuando n es pequeña y la proporción desconocida P se considera cercana a 0 ó a 1, el procedimiento del intervalo de confianza que se establece aquí no es confiable, por tanto, no se debe utilizar. Para estar seguro, se debe requerir que np ó nq sea mayor o igual a 5.
Sin embargo, para muestras pequeñas se puede ajustar mediante el uso de la distribución binomial por el Metodo Clopper–Pearson.
Supongamos el siguiente ejemplo:
Se poseen 10 huesos de pelvis humanos y por observación se asignó al sexo femenino a 8 de estos. Determiné el intervalo de confianza para proporción poblacional del sexo femenino al 95%.
\(F_{1-\alpha/2;2(10-8+1),2*8}=F_{0.025;6,16}= 3.340 \enspace\) Distribución F con 6 y 16 gl y α = 0.025
\(F_{1-\alpha/2;2(8+1),2(10-8)}=F_{0.025;18,4}=8.5923 \enspace\) Distribución F con 18 y 4 gl y α = 0.025
\(IC_{inf}=\frac{8}{8+(10-8+1)*3.340}=0.4439\)
\(IC_{sup}=\frac{(8+1)*8.5924}{(10-8)+(8+1)*8.5924}=0.9747\)
Llamada tambien: Contraste de hipótesis, Pruebas de Hipótesis, Pruebas de significación, Reglas de decisión.
Son decisiones que se toman sobre las poblaciones, con base en la información que nos suministra una muestra.
El objetivo último del análisis de datos es el de extraer conclusiones de tipo general a partir de unos pocos datos.
Es una regla que determina, a un cierto nivel de probabilidad, si aceptamos o no una decisión.
Esas conjeturas pueden ser ciertas o no, reciben el nombre de hipótesis estadísticas, y en general, son planteamientos sobre la distribución de probabilidades de las poblaciones.
Se pueden distinguir dos tipos de hipótesis estadísticas:
Si suponemos que cierta hipótesis es verdadera, pero encontramos que los resultados de una muestra aleatoria difieren de los esperados bajo la Ho, podemos decir que las diferencias observadas son significativas y nos inclinamos a rechazar la Ho (o al menos, no aceptarla debido a la evidencia obtenida).
Al tomar un decisión respecto a la Ho, partiendo del estadístico muestral, se puede incurrir en errores de decisión.
| Hipótesis | ||
|---|---|---|
| Decisión | Verdadera | Falsa |
| Aceptar | No - Error | Error tipo II |
| Rechazar | Error Tipo I | No - Error |
Error de tipo I: Se comete cuando se decide rechazar la hipótesis nula H0 que en realidad es verdadera. La probabilidad de cometer ese error es α.
Error de tipo II: Se comete cuando se decide no rechazar la hipótesis nula H0 que en realidad es falsa. La probabilidad de cometer ese error es β
Nomenclatura:
Reducir los errores, no es tarea fácil, ya que al tratar de reducir el error tipo I, se puede incrementar el error tipo II, y vice-versa. Así mismo, el tamaño de la muestra también influye, a menor tamaño se incrementan los errores y a mayor tamaño muestral, los errores disminuyen de forma significativa. Sin embargo en Antropología, el incremento de la muestra, no siempre es algo factible.
En la practica se procede así: Se fija α a criterio del investigador en base a los objetivos y condiciones de la investigación, y se elije la región de rechazo de la Ho, de forma tal que la β se hace mínimo.
Por ejemplo, suponemos que usamos el 5% como criterio límite o magnitud del error, esto quiere decir que rechazaremos 5 de 100 muestras que presenten un comportamiento diferente a la hipótesis nula. Mientras más pequeño es alfa, menor riesgo hay de cometer error de tipo I, pero mayor de cometer error de tipo II.
Los niveles de significancia más usados son:
α = 0,05 y 0,01
Aunque el investigador puede utilizar otros niveles que se ajusten a los objetivos de la investigación
EJEMPLO: Con un α = 0,05 o 5%
Hay posibilidad de 5 en 100, de que rechacemos la Ho, cuando deberíamos aceptarla, es decir, siempre que Ho sea verdadera, tenemos un 95% de confianza que tomaremos la decisión correcta y un 5% de equivocarnos.
Bilateral
Ho: La Población es igual a la Muestra
H1: La Población es diferente a la Muestra
Unilateral a la derecha
Ho: La Población es menor o igual a la Muestra
H1: La Población es mayor que la Muestra
Unilateral a la izquierda
Ho: La Población es mayor o igual a la Muestra
H1: La Población es menor que la Muestra
El valor p es un valor de probabilidad, por lo que oscila entre 0 y 1. El valor p nos muestra la probabilidad de haber obtenido el resultado que hemos obtenido suponiendo que la hipótesis nula H0 es cierta. Se suele decir que valores altos de p no permiten rechazar la H0, mientras que valores bajos de p sí permiten rechazar la H0.
En una prueba estadística, se rechaza la hipótesis nula H0 si el valor p asociado al resultado observado es igual o menor que un nivel de significación α establecido arbitrariamente, convencionalmente 0,05 o 0,01
| Tipo de Datos | Nivel de Medición | Descripción | Prueba de Hipótesis | Asociación |
|---|---|---|---|---|
| Cualitativos | Nominal |
|
|
|
| Ordinal |
|
|
|
|
| Cuantitativos | Intervalo / Razón | Medidas de tendencia central, posición y dispersión |
|
|
ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS POR INTERVALOS PARA LA MEDIA
Cargamos el fichero del set craneométrico de Howells
library(readxl)
datos <- read_excel("data/Howell.xls")
Para realizar el cálculo de los intervalos usaremos el paquete Publis
#install.packages("Publish") #Hay que instalarlo primero
library(Publish)
Usaremos la función ci.mean() del paquete Publis
ci.mean(datos$GOL)
mean CI-95% 179.17 [178.84;179.51]
Los intervalos son: [178.84; 179.51] a un 95% de confianza, es decir, hay una probabilidad del 95% que la media (GOL) de la población esté entre 178.84 mm y 179.51 mm
Tambien, podemos ver los intervalos discriminados por una variable categórica (“sexo”)
ci.mean(GOL~Sex, data=datos)
Sex mean CI-95% F 174.43 [174.02;174.84] M 183.18 [182.78;183.58]
Tambien podemos hacer una representación gráfica con la función plot() paquete Publis
plot(ci.mean(GOL~Sex, data=datos))
Podemos hacer un gráfico un poco mejor con ggplot y convirtiendo los resultados en un dataframe
limites <- ci.mean(GOL~Sex, data=datos) #Vectorizamos los resultados en un objeto #luego lo convertimos en un dataframe, definiendo específicamente las columnas que necesitamos data <- data.frame(limites$labels, mean = limites$mean, lower = limites$lower, upper = limites$upper)
Cargamos la librería de ggplot
library(ggplot2)
#Hacemos nuestro gráfico con un geom_pont() + geom_errorbar()
ggplot(data, aes(Sex, mean)) + geom_point() +
geom_errorbar(aes(ymin = lower, ymax = upper), width = 0.1) + theme_light() +
ggtitle("Grafico de medias con IC al 95%")
Para muestras menores de 30…
Seguimos usando la longitud Glabello-occipital (GOL), pero de una población pequeña como “S MAORI” que tiene solo 10 observaciones
df_maori <- datos[datos$Population=="S MAORI" , ] #hacemos una nueva base filtrada por "S MAORI"
Tal como lo vimos en clase, usaremos la distribución t-student, para ello usaremos la función t.test(
t.test(df_maori$GOL)
One Sample t-test
data: df_maori$GOL
t = 109.47, df = 9, p-value = 2.248e-15
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
95 percent confidence interval:
183.2337 190.9663
sample estimates:
mean of x
187.1
Los intervalos son: [183.233; 190.966] a un 95% de confianza, es decir, hay una probabilidad del 95% que la media (GOL) de la población “S MAORI” esté entre 183.23 mm y 190.96 mm
ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS POR INTERVALOS PARA LA PROPORCIÓN
Tal como lo vimos en la sesión teórica, queremos conocer la proporción de craneos de sexo femenino para toda la población a partir la muestra de Howells.
Entonces necesitamos conocer la frecuencia de craneos femeninos y el tamaño de la muestra.
n <- length(datos$Sex) #Tamaño de la muestra fem <- sum(datos$Sex=="F") #Frecuencia de craneos de sexo femenino
Finalmente usaremos la función prop.test(
prop.test(fem,n,correct=FALSE)
1-sample proportions test without continuity correction
data: fem out of n, null probability 0.5
X-squared = 17.807, df = 1, p-value = 2.445e-05
alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5
95 percent confidence interval:
0.4386444 0.4774896
sample estimates:
p
0.4580032
Los intervalos son: [0.4386; 0.47749] a un 95% de confianza, es decir, hay una probabilidad del 95% que la proporción poblacional del sexo femenino esté entre 43.8% y 47.7%
Para muestras pequeñas…
Se poseen 10 huesos de pelvis humanos y por observación se asignó al sexo femenino a 8 de estos. Determine el intervalo de confianza para proporción poblacional del sexo femenino al 95%.
Sabemos que en este caso debemos usar el metodo Clopper–Pearson, para ello emplearemos el función binom.test(
binom.test(8,10,conf.level = 0.95)
Exact binomial test
data: 8 and 10
number of successes = 8, number of trials = 10, p-value = 0.1094
alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.5
95 percent confidence interval:
0.4439045 0.9747893
sample estimates:
probability of success
0.8
Los intervalos son: [0.4439; 0.9747] a un 95% de confianza, es decir, hay una probabilidad del 95% que la proporción poblacional del sexo femenino esté entre 44.4% y 97.5%
Realizar estimación por intervalos y definir Hipótesis Estadística.
Para esta tarea, usaremos los datos de la Encuesta nacional de Consumo Alimentario del 2014 disponibles en el Ministerio de Salud https://www.minsal.cl/encabasededatos/ La base base_enca2014.xlsx se encuentra en material docente de la plataforma U-Cursos (base_enca2014.xlsx)
1.- ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS POR INTERVALOS PARA LA MEDIA Y GRÁFICO:
1.1. Selecione una variable contínua, determine e interprete los intervalos de confianza al 95% segmentados por una variable categórica.
1.2. Realice el gráfico correspondiente
2.- ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS POR INTERVALOS PARA LA PROPORCIÓN:
2.1. Para este ejercicio, considere una de estas tres variables: ChoEnerPor, LipEnerPor o ProEnerPor. Como son porcentajes, deben usar el promedio geométrico como proporción. Determinen el promedio general y un promedio segmentado por alguna modalidad de una variable categórica. Nota: para calcular la media geométrica, pueden usar la función geometric.mean() del paquete “psych” ya visto previamente.
El resultado del geometric.mean() es un porcentaje, sin embargo para poder usar la función prop.test(), la que sirve para obtener los intervalos, van a necesitar convertir ese porcentaje en una frecuencia absoluta. Para ello deben dividir el porcentaje entre 100 para convertirlo en proporción y luego multiplicarlo por el “N” de la base. Finalmente lo deben redondear con la función round() para obtener la frecuencia final y de esta forma poder usarlo en prop.test().
Por ejemplo: supongamos que tenemos un porcentaje del 25% (como resultado del geometric.mean()) y sabemos que el “N” de la base es 150, para obtener la frecuencia absoluta procedemos así:
2.2. Calcule e interprete los intervalos de confianza al 95% para ambos promedios/proporciones
3.- PLANTEAR HIPOTESIS ESTADÍSTICA:
3.1. Seleccione una variable de tipo contínua y una categórica y establezca un modelo de hipótesis: Nula y Alternativa
3.2. Seleccione otra variable de tipo contínua y otra categórica y realice un nuevo modelo de hipotesis
Estructura del reporte
Nombre de las variables y códigos de las categorías